movimiento armónico simple (M.A.S)

movimiento armónico simple

Decimos que una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio. Decimos, entonces, que dicho cuerpo es un oscilador armónico. En este apartado estudiaremos:

El concepto de vibración u oscilación y sus tipos

La definición del m.a.s. y sus características principales

Las magnitudes que lo definen

Su gráfica de posición

Algunos casos típicos de m.a.s. en tu día a día

Adicionalmente, es posible que tengas interés en profundizar en el comportamiento del m.a.s. Te aconsejamos que visites:

Cinemática del movimiento armónico simple

Dinámica del movimiento armónico simple

Vamos allá.

Oscilaciones y Vibraciones

¿Sabrías decir qué tienen en común un péndulo, el latido de tu corazón, la membrana de los altavoces de tu equipo de música o el mecanismo de un reloj? Se podría decir, en un sentido figurado, que todos ellos generan oscilaciones o vibraciones que nos marcan el ritmo. En este apartado vamos a explicar las características qué tienen en común todos estos movimientos y para ello vamos a presentar el movimiento armónico simple (m.a.s.) también conocido como movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.).

Para entender el movimiento armónico simple es importante entender el concepto de oscilación o vibración. Los cuerpos oscilan o vibran cuando se apartan de su posición de equilibrio estable.

En el caso de la bola del ejemplo anterior, el periodo es el tiempo que tarda esta en volver a pasar por el mismo punto en igual sentido. La frecuencia es el número de veces en un segundo en que la bola pasa por el mismo punto en igual sentido.

El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas:

f=1/T

Con esto tenemos que 1 Hz = 1 s-1

Aunque el concepto de vibración es el mismo que el de oscilación, en ocasiones se emplea el término vibración para designar una oscilación muy rápida o de alta frecuencia.

ejercicio de movimiento circular uniforme

Ejercicio 1

Un móvil se desplaza con una trayectoria circular a una velocidad de 2 m/s.

¿Cuánto tardará en dar dos vueltas alrededor de una circunferencia de 100 metros de diámetro?

Solución

Podemos plantear el problema con las ecuaciones de velocidad tangencial (sabiendo que tiene que recorrer dos veces el perímetro) o de velocidad angular (sabiendo que tiene que recorrer dos veces el ángulo de la circunferencia completa, es decir 2π).

Dado que tenemos la velocidad tangencial vamos a plantear su ecuación y despejar el tiempo. Recordemos que la velocidad tangencial es la variación de posición respecto del tiempo.

Ejercicio 2

Un móvil da tres vueltas sobre una circunferencia de 300 metros de diámetro a velocidad constante y tarda 2 minutos en hacerlo.

Calcular:

• Frecuencia
• Período
• Velocidad angular
• Velocidad tangencial
• Aceleración centrípeta

Solución

Convertimos las el tiempo a segundos.

Calculamos la frecuencia a través de su definición.

Calculamos el período como la inversa de la frecuencia.

Obtenemos la velocidad angular a partir de la frecuencia.

También podríamos haber obtenido esta velocidad en base a su definición, es decir la variación de ángulo sobre la variación de tiempo sabiendo que recorre 3 vueltas (6 π radianes) en 120 segundos.

Calculamos la velocidad tangencial multiplicando la velocidad angular (en radianes) por el radio.

Otra manera de haberla calculado es a través de su definición, es decir haciendo el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado, sabiendo que recorrió el perímetro de la circunferencia tres veces en 120 segundos.

Por último hallamos la aceleración centrípeta.

Ejercicio 3

Un móvil se desplaza a velocidad constante de 2,25 m/s sobre una circunferencia de 50 metros de diámetro.

¿Qué distancia y que ángulo habrá recorrido a los 10 segundos de comenzado el movimiento?

Solución

Planteamos la ecuación horaria de la posición respecto del tiempo y reemplazamos por los valores del ejercicio.

Para calcular el ángulo recorrido podemos plantear la ecuación horaria de posición angular o bien, ya que tenemos calculada la distancia recorrida en ese tiempo, podemos dividirla por el radio ya que ambas magnitudes están relacionadas por la siguiente expresión.

ejercicios de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Problema 1

Describir el movimiento de la siguiente gráfica y calcular $v\left(0\right)$, $v\left(4\right)$, $v\left(10\right)$ y $v\left(15\right)$:

Solución

Es la gráfica de la velocidad en función del tiempo de un movimiento.
El movimiento es rectilíneo uniforme en el intervalo de tiempo [0,4], rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración positiva en el intervalo [4,10] y rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración negativa en el intervalo [10,15].
Observando la gráfica, las velocidades son

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Problema 2

Elegir la gráfica de la velocidad en función del tiempo que se corresponde a cada situación.
Gráfica a:

Gráfica b:

Gráfica c:

Situaciones:

1. Dejar caer una moneda desde la azotea de un edificio: el movimiento comienza en el momento en el que se suelta la moneda y termina cuando ésta llega al suelo.
2. Lanzar una moneda hacia arriba en línea recta: el movimiento comienza cuando se suelta la moneda y termina cuando cae al suelo.
3. Efectuar un adelantamiento a un auto en marcha con otro auto: el movimiento comienza justo antes de realizar el adelantamiento y termina cuando, una vez rebasado el auto, se lleva la misma marcha que al inicio.

Solución

La gráfica a describe la situación 2. En el instante $t=0$ la velocidad no es 0 porque la moneda tiene una velocidad inicial positiva necesaria para moverse hacia arriba. La velocidad decrece hasta llegar a 0 por el efecto de la gravedad (cuando la moneda alcanza la altura máxima). En dicho instante, el efecto de la gravedad provoca que la velocidad siga decreciendo y volverse negativa, lo que se corresponde con el movimiento de la caída libre de la moneda.
La gráfica b describe la situación 3. En $t=0$ el auto no tiene velocidad 0 porque está en marcha. La velocidad aumenta hasta rebasar al otro auto y después, decrece para continuar con su marcha.
La gráfica c describe la situación 1. La velocidad en $t=0$ es 0 puesto que la moneda está inicialmente en reposo. La velocidad decrece por efecto de gravedad.

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Problema 3

Calcular la aceleración (en $m/s^2$) que se aplica para que un móvil que se desplaza en línea recta a 90.0 km/h reduzca su velocidad a 50.0 km/h en 25 segundos.
Comentar el resultado.

Solución

La velocidad inicial del móvil es

También conocemos la velocidad a los 25 segundos:

La fórmula de la velocidad es

Despejamos la aceleración:

Antes de sustituir los datos, escribimos la velocidad en metros por segundo para tener las mismas unidades:

Sustituimos los datos en la fórmula de la aceleración que obtuvimos anteriormente:

Por tanto, la aceleración es de $-0.4m/s^2$.
Como la velocidad inicial es positiva y el móvil va frenándose, entonces la aceleración es negativa.

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Problema 4

Un tren de alta velocidad en reposo comienza su trayecto en línea recta con una aceleración constante de $a=0.5m/s^2$. Calcular la velocidad (en kilómetros por hora) que alcanza el tren a los 3 minutos.

Solución

Como el tren está en reposo, la velocidad inicial es 0:

Nótese que la aceleración es en metros por segundos al cuadrado y el tiempo es en minutos. Debemos escribir el tiempo en segundos:

Calculamos la velocidad aplicando la fórmula:

Tenemos la velocidad en metros por segundo, así que la escribimos en kilómetros por hora:

Por tanto, la velocidad del tren a los tres minutos es $324km/h$.

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Problema 5

Calcular la aceleración que aplica un tren que circula por una vía recta a una velocidad de 216.00km/h si tarda 4 minutos en detenerse desde que acciona el freno.

Solución

La velocidad inicial del tren es

La escribimos en metros por segundo:

Escribimos el tiempo en segundos:

La velocidad final, es decir, a los 4 minutos, es 0 puesto que debe detenerse:

Despejamos la aceleración de la fórmula de la velocidad:

Sustituimos los datos:

Por tanto, la aceleración es $-0.25m/s^2$.

ejercicios movimiento rectilíneo uniforme

Problema 1

Un camión se mueve a velocidad constante de 90km/h por una autopista recta.

1. ¿qué distancia recorre en 2 horas?
2. ¿qué distancia recorre por segundo?
3. ¿cuánto tardará en recorrer 10km?

Ver solución

La velocidad del camión es

expresada en kilómetros (espacio) por hora (tiempo).

Apartado a:

La ecuación del movimiento es

donde conocemos la velocidad y el tiempo. Queremos obtener la distancia recorrida: aislamos la x antes de sustituir en la ecuación:

Ahora sustituimos los datos

Hemos escrito las unidades de tiempo para tratarlas como factores, de este modo, como el tiempo, h, está multiplicando y dividiendo, desaparece, quedando únicamente la unidad de distancia, km.
Por tanto, el camión recorre 180 kilómetros en 2 horas.

Apartado b:

De nuevo tenemos que calcular la distancia, pero ahora, en un tiempo de 1 segundo.
Sabemos que la distancia recorrida es

Notemos que en el denominador tenemos el tiempo en horas y en el numerador en segundos. Necesitamos la misma unidad. Para ello, pasaremos las horas a segundos.
Una hora son

Entonces, escribimos 3600s donde tenemos la h:

Como las unidades del tiempo son la misma, se han anulado.
El espacio recorrido obtenido está en kilómetros, por lo que si queremos evitar los decimales podemos pasarlo a metros:

Por tanto, el camión recorre 25 metros cada segundo.
Apartado c:
Ahora sabemos la distancia, x = 10km , y tenemos que calcular el tiempo. Aislamos el tiempo en la ecuación:

y sustituimos los datos

Notemos que las horas están dividiendo en el denominador, por lo que pasan multiplicando al numerador.
Escribimos el tiempo en minutos para evitar los decimales:

Para ser más exactos,

Por tanto, el camión tarda unos 6 minutos y 40 segundos en recorrer 10km.

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Problema 2

La velocidad de la luz en el vacío es c = 300 000 km/s. La luz del Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos y 19 segundos. Calcular la distancia entre el Sol y la Tierra.

Ver solución

La velocidad la hemos llamado c en vez de v ya que para la luz se utiliza este nombre, pero el procedimiento es el mismo.
Por tanto, conocemos la velocidad, c, y el tiempo, t = 8 min 19s. Podemos calcular la distancia:

Antes de sustituir tenemos que expresar el tiempo en una sola unidad. Como la velocidad la tenemos en kilómetros por segundo, pasamos el tiempo a segundos:
Por un lado, los 8 minutos son

Por tanto, el tiempo es

Ahora sustituimos los datos en la ecuación:

Por tanto, la distancia del Sol a la Tierra es de 149 700 000km, es decir, casi 150 millones de kilómetros.

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Problema 3

Dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo y la gráfica de la velocidad en función del tiempo del movimiento rectilíneo uniforme de una aeronave que vuela a 1200 km/h.

Ver solución

La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es

Sustituimos la velocidad y obtenemos

Como la velocidad está en kilómetros por hora, la unidad de medida del tiempo, t, será horas y la del espacio, x, en kilómetros.

Para dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo, damos dos valores a t y dibujamos el par (x,t).

Escogemos, por ejemplo,

Una vez dibujados los puntos

Sólo tenemos que unirlos en línea recta ya que sabemos que en este tipo de movimiento el espacio es una recta con pendiente la velocidad (la ecuación es una ecuación lineal):

Como la velocidad es constante, la gráfica de v(t) será una recta horizontal, una recta paralela al eje de abscisas:

Problema 4

La siguiente gráfica representa la velocidad (km/h) en función del tiempo de un automóvil. Calcular la distancia que recorre el automóvil sin hacer uso de las ecuaciones del movimiento ya que se trata de un movimiento con velocidad no constante.

Ver solución

Problema 5

En un movimiento rectilíneo con velocidad no constante, la velocidad media es

donde x es la distancia recorrida final y t el tiempo transcurrido.

La velocidad media es la velocidad que el móvil debería tener para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo realizando un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante.

Sabemos que un cohete espacial recorre 120km a una velocidad constante de 500km/h. Cuando alcanza los 120km, su velocidad pasa a ser, de forma instantánea, 900km/h. A esta velocidad recorre otros 120km.

Calcular la velocidad media del cohete.

Ver solución

En realidad, se trata de dos movimientos rectilíneos uniformes: uno durante los primeros 120 kilómetros y el otro durante los 120 kilómetros restantes.

En cada uno de estos dos movimientos tenemos una velocidad distinta y, por tanto, como la distancia es la misma, cada movimiento tendrá una duración.
En el primer movimiento, la velocidad es de 500km/h. Por tanto, tenemos la ecuación

El tiempo que dura el movimiento es de

En el segundo, la velocidad es de 900km/h. Del mismo modo que antes, obtenemos que el tiempo es

Por tanto, el tiempo total transcurrido es

Y la distancia total recorrida es

Ahora supongamos que realizamos un movimiento rectilíneo uniforme durante 0.373 horas y recorremos una distancia de 240 kilómetros. La velocidad de este movimiento es:

Por tanto, la velocidad media del cohete es